Sifat-sifat Aljabar Bilangan Real

Himpunan bilangan real R dilengkapi dengan dua operasi, yaitu operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (×), dilambangkan (R, +, ×), membentuk suatu sistem matematika yang disebut lapangan (field). Beberapa sifat yang berlaku dalam sistem bilangan real adalah sebagai berikut.

1.     Terhadap Operasi Penjumlahan

a.    Sifat ketertutupan, untuk semua a, b Î R, maka

a + b Î R.

b.    Sifat komutatif, untuk semua a, b Î R, maka

a + b = b + a

c.    Sifat assosiatif untuk semua a, b, c Î R , berlaku

a + (b + c) =(a + b) + c

d.    Terdapat unsur identitas penjumlahan, untuk semua a Î R, ada 0 Î R

sehingga

a + 0 = 0 + a = 0.

0 disebut unsur satuan (identitas) penjumlahan.

e.   Terdapat  invers  penjumlahan,  untuk  masing-masing  a  Î  R,  ada (-a) Î R sehingga

a + (-a) = (-a) + a = 0. (-a)

disebut invers perjumlahan dari a

2.  Terhadap Operasi Perkalian

a. Sifat ketertutupan

Untuk semua a, b Î R, maka

a×b Î R

b. Sifat komutatif

Untuk semua a, b Î R, maka

a×b = b×a

c. Sifat assosiatif

Untuk semua a, b, c Î R, maka

a×(b×c) =(a×b)×c

d. Terdapat unsur identitas perkalian

Untuk semua a Î R, ada 1 Î R, 1 ¹ 0, sehingga

a×1 = 1×a = a.

l disebut unsur satuan (identitas) perkalian.

e. Terdapat invers perkalian

Untuk masing-masing a Î R, a ¹ 0, terdapat

1 Î R  sehingga

a

a× 1 =

a

1

×a = 1.

a

1 disebut invers perkalian dari a. a

3.  Terhadap operasi perkalian dan penjumlahan

a. Sifat distributif perkalian atas penjumlahan

Untuk semua a, b, c Î R, berlaku

(a + b)×c = a×c + b×c

Pada daftar sifat-sifat di atas terdapat beberapa hal yang berlebihan, seperti pernyataan

a + 0 = 0 + a = 0,

yang sebenarnva cukup dinyatakan a  + 0 = 0,  karena sesuai sifat komutatif penjumlahan tentu saja jika a + 0 = 0, maka 0 + a = 0. Meskipun demikian, hal ini dilakukan sebagai suatu penekanan.

Berdasarkan sifat-sifat di atas, akan disajikan beberapa teorema berkaitan dengan bilangan real. Pertama akan ditunjukkan bahwa identitas penjumlahan dan invers penjumlahan suatu bilangan real masing-masing adalah tunggal.

Teorema 2.1.1 Misalkan a, x Î R.

a.     Jika a + x = a, maka x = 0.

b.     Jika a + x = 0, maka x = -a.

Bukti:

a.     Diketahui a + x = a dan a + 0 = a. Diperoleh

a + x = a + 0.

Jika kedua ruas sama-sama ditambah dengan (-a), akan diperoleh x = a.

b.     Diketahui a + x = 0 dan a + (-a) = 0. Diperoleh

a + x = a + (-a).

Jika kedua ruas sama-sama ditambah dengan (-a), akan diperoleh x = -a. ◘

Berdasarkan Teorema 2.1.1, dapat disimpulkan bahwa, jika ada x Î R yang dapat memenuhi persamaan a + x = a, maka x = 0. Demikian juga, jika ada x Î R yang dapat memenuhi persamaan a + x = 0, maka x = (-a). Hal ini berarti bahwa identitas penjumlahan adalah tunggal dan invers penjumlahan suatu bilangan real adalah tunggal.

Pada sistem bilangan real terdapat sifat trikotomi, yaitu bahwa jika a

adalah suatu bilangan real, maka kemungkinan untuk a adalah

a > 0, a = 0, atau a < 0.

Jika a > 0, a disebut bilangan real positif dan jika a < 0, a disebut bilangan real negatif.

Telah diketahui bahwa invers penjumlahan dari bilangan real a ditulis (-a). Jika a adalah bilangan real positif, maka (-a) adalah bilangan real negatif dan jika a adalah bilangan real negatif maka (-a) adalah bilangan real positif. Lebih singkatnya, jika a > 0, maka -a < 0 dan jika a < 0, maka -a > 0. Dengan demikian, jika a adalah sebarang bilangan real, maka -(-a) = a. Pembuktian pernyataan ini akan diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 2.1.2 Misalkan a Î R. a.   0×a = 0

b.   (-1) .a = -a

c.    -(-a) = a

d.    (-1)×(-1) = 1

Bukti:

a.    Diketahui 0 + 0 = 0. Jika kedua ruas dikalikan a, diperoleh

[0 + 0]×a = 0×a.

Sesuai sifat distributif, maka

0×a + 0×a = 0×a.

Jika kedua ruas ditambah dengan (0×a), diperoleh

0×a = 0.

b.    Diketahui bahwa 1 + (-1) = 0. Jika kedua ruas dikalikan a, diperoleh

[1 + (-1)]×a = 0×a.

Sesuai sifat distributif, maka

1×a + (-1)×a = 0×a.

Jadi,

a + (-1)×a = 0

Jika kedua ruas ditambah dengan (–a), diperoleh

(-1)×a = -a.

c.    Karena (-a) + a = 0, sesuai Teorema 1.1.b, maka a = - ( -a ).

d.    Jika pada bagian b, pada (-1)×a = -a, disubsitusikan a = (-1) maka diperoleh

(-1)×(-1) = -(-1).

Sesuai bagian c, - ( -a ) = a , maka -(-1) = 1. Jadi diperoleh (-1)×(-1) = 1. ◘

Teorema 2.1.3 Misalkan a, b Î R. a.  a × ( -b ) = ( -a ) × b = - (a×b).

b. (-a)×(-b) = a×b .

c.  - ( a + b ) = ( -a ) + ( -b )

Bukti:

a.     Sesuai Teorema 2.1.2.c, maka

a × (- b ) = a × [(-1) × b ]

= [ a × (- 1 )] × b

= [(-1) × a]×b

=(- a ) × b .

= [( - 1 ) × a ] × b

=(-1)( a × b )

= -( a × b ).

Jadi, a×(-b) = (- a ) × b = - (a×b).

Bukti bagian c dan d diserahkan sebagai latihan.     ◘

Definisi 2.1.4 Jika a, b Î R, maka a - b didefinisikan dengan a +(-b).

Definisi 2.1.5 Misal a, b Î R. a dikatakan lebih dari b, ditulis a > b,   jika   a – b > 0. a dikatakan kurang dari b, ditulis a < b, jika a – b < 0.

Notasi a ³ b, dibaca a lebih dari atau sama dengan b dan notasi a £ b, dibaca a kurang dari atau sama dengan b, didefinisikan secara analog seperti pada Definisi 1.1.2

Himpunan  bilangan  real  R  memuat  himpunan  bagian  P  yang  disebut himpunan bilangan real positif yang memenuhi sifat berikut.

1.     Jika a, b Î P, maka a + b Î P dan a×b Î P.

2.     Jika a Î R, maka satu dan hanya satu kondisi berikut yang dipenuhi:

a Î P,               -a Î P,             a = 0.

Sifat (1) dan (2) disebut sifat urutan pada R. Sebarang lapangan (field) F yang memuat subset yang memenuhi sifat (1) dan (2) disebut lapangan terurut (ordered field). Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jika a, b Î R dan a – b > 0, yakni a – b Î P, maka ditulis a > b atau b < a.

Sifat-sifat berikut merupakan konsekuensi dari sifat urutan serta aksioma penjumlahan dan perkalian pada R.

Teorema 2.1.6    Misalkan a, b, c Î R, maka

(a)       Jika a > b, maka a + c > b + c.

(b)       Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.

(c)       Jika a > b, dan c > 0, maka a× c > b× c.

(d)       Jika a > b, dan c < 0, maka a× c < b× c.

(e)       Jika a ¹ 0, maka a2 > 0.

(f)        Jika a > 0, maka

Bukti:

1 > 0 dan jika a < 0, maka a

1 < 0 .

a

(a)   Karena a > b, maka a – b > 0. Jika c Î R, maka

Diperoleh

a – b     = a – b + (c – c)

= (a + c) – (b + c) > 0.

a + c > b + c.

Bukti bagian (b)-(f) diserahkan sebagai latihan.  ◘

Teorema 2.1.7 Jika a, b Î R dan a > b, maka a >

Bukti: Diserahkan sebagai latihan.

a + b

2

> b.

Sebagai akibat Teorema 2.1.7 diperoleh jika a bilangan real dan a > 0, maka

Latihan 2.1

1.     Buktikan bahwa 0 = -0.

2.       Jika a, b, c Î R . Buktikan

a > a > 0.

2

a.  jika a = b, buktikan bahwa a + c = b + c.

b.  jika a < b, buktikan bahwa a + c < b + c.

c.  jika a > b, buktikan bahwa a - c > b - c

3.       Jika a, b, c ÎR, dengan a< b dan c > 0, buktikan bahwa ac < bc.

4.       Jika a, b, c ÎR, dengan a< b dan c < 0, buktikan bahwa ac > bc.

5.       Jika a Î R bahwa a2   ³ 0.

6.       Jika a, b, c Î R .

a.      Jika a > b dan b > c, buktikan bahwa a > c.

b.     Buktikan hanya tepat satu pernyataan berikut terpenuhi:        a > b, a = b, a < b.

c.      Buktikan jika a ³ b dan a £ b, maka a = b.

7.       Buktikan jika a, b Î R dan ab > 0, maka

(1)    a > 0 dan b > 0,

(2)    a < 0 dan b < 0.

8.       Buktikan bahwa 1 > 0.

9.       Buktikan bahwa jika n Î N, maka n > 0.

10.    Jika a Î R

memnuhi a × a = a , buktikan bahwa a = 0 atau a = 1

  1

⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞

11.    Jika a ¹ 0 dan b ¹ 0

tunjukkan (    ) = ⎜

⎟⎜  ⎟.

ab

12.    Jika 0 < c < 1 , tunjukkan 0 < c 2  < c < 1.

13.    Jika 1< c tunjukkan 1 < c < c 2 .

⎝ a ⎠⎝ b ⎠

14.    Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan jika

a Î R

dan

m,n Î N

maka am +n  = aman

dan (a m )n  = a mn .