Interval dan Titik Cluster

Sesuai sifat urutan pada R, akan didefinisikan beberapa himpunan bagian dari

R yang disebut interval. Misalkan a, b Î R, dengan a < b.

Interval buka (a, b) didefinisikan dengan (a, b) = { x Î R ⏐a < x < b}.

Interval tutup [a, b] didefinisikan dengan [a, b] = { x Î R ⏐a £ x £ b}.

Interval setengah buka (setengah tutup) didefinisikan dengan [a, b) = { x Î R ⏐a £ x < b}

(a, b] = { x Î R ⏐a < x £ b}.

Interval buka takberhingga (sinar buka) didefinisikan dengan (a, ¥) = { x Î R ⏐a < x}

(-¥, a) = { x Î R ⏐x < a}

Interval tutup takberhingga (sinar tutup) didefinisikan dengan [a, ¥) = { x Î R ⏐a £ x}

(-¥, a] = { x Î R ⏐x £ a} Sesuai definisi, maka

(a, a) = 0/

Dan [a, a] = {a}. Interval buka, tutup, dan setengah buka (setengah tutup) adalah interval terbatas, sedangkan sinar buka dan sinar tutup adalah interval takterbatas (unbounded).

Definisi 2.4.1 Interval In, n Î N disebut interval bersarang (nested interval) jika

I1 Ê I2 Ê I3 Ê … Ê In Ê In + 1 Ê …

Sebagai contoh, jika

In = [0,

1 ],

n

n Î N maka

In Ê In + 1

untuk masing-masing  n Î N. Dengan demikian, maka

1

In = [0,     ],

n

n Î N adalah interval bersarang. Interval

n

J = [- 1 ,

n

1 ],

n

n Î N juga merupakan interval bersarang.

Definisi 2.4.2 Misalkan S Í R. x Î R disebut titik cluster atau titik limit dari S jika masing-masing lingkungan-e dari x memuat y Î S dengan x ¹ y. xÎS yang bukan titik cluster disebut titik terisolasi di S.

Pada definisi titik limit atau titik cluster, tidak diharuskan bahwa x adalah unsur di S. Sesuai definisi, x Î R adalah titik limit dari S jika

Ve(x) Ç S\{x} ¹ 0/ ,

untuk setiap e > 0. Berdasarkan definisi, dapat juga dinyatakan bahwa x Î S adalah titik terisolasi jika terdapat e > 0 sehingga

Ve(x) Ç S = {x}.

Contoh 2.4.3

(a)  Jika S adalah interval buka (0, 1), maka semua titik pada interval tutup  [0, 1] adalah titik limit dari S. Perhatikan bahwa 0 dan 1 bukan titik di S.

(b) Semua singleton, yaitu himpunan yang hanya memuat satu unsur, tidak mempunyai titik limit.

(c)   Sebarang himpunan berhingga tidak mempunyai titik limit. Himpunan bilangan asli N

tidak mempunyai titik limit meskipun N adalah himpunan takberhingga.

(d)  Himpunan S = { 1 ⏐n Î N} mempunyai satu titik limit, yaitu 0. ☻

n

Teorema 2.4.4 Misalkan S Í R. Jika x Î R adalah titik limit dari S maka setiap lingkungan dari x memuat sejumlah takberhingga titik di S.

Latihan 2.4.

1.     jika S Í R ¹ 0/ , tujukkan bahwa S terbatas jika dan hanya jika terdapat

interval tertutup dan terbatas I sehingga

S Í I .

2.    

n        ⎜

⎟

misalkan I  = ⎛ 0, 1 ⎞

⎝  n ⎠

⎛  1 ⎞

¥

I

untuk n Î N . Buktikan      In = {0}

n =1

¥

3.     misalkan

Jn = ⎜ 0,   ⎟

⎝  n ⎠

untuk n Î N . Buktikan I Jn = 0/ .

n =1