Barisan Konvergen

Definisi 3.2.1 Misalkan X = (xn) adalah barisan bilangan real. Suatu bilangan real x dikatakan limit dari X, jika untuk masing-masing lingkungan V dari x terdapat suatu bilangan asli K sehingga untuk semua n ³ K, maka xn adalah anggota V. Jika x adalah limit dari X, maka dikatakan X konvergen ke x (atau X mempunyai limit x). Jika suatu barisan mempunyai limit, maka barisan itu dikatakan konvergen. Jika tidak mempunyai limit, barisan itu dikatakan divergen. Jika barisan bilangan real X = (xn) mempunyai limit x Î R, maka sering ditulis

x = lim X,       x = lim (xn),     atau       x = lim

n®¥

(xn).

Kadangkala digunakan simbol xn ® x untuk menyatakan X = (xn) konvergen ke x.

Dengan demikian dapat dinyatakan

xn ® x Û " V(x) $ K Î N ' xn Î V(x), n ³ K

Teorema 3.2.2 (Ketunggalan Limit) Barisan bilangan real dapat memiliki paling banyak satu limit.

Bukti: Misalkan X = (xn) barisan bilangan real. Andaikan X mempunyai lebih dari satu limit. Misalkan x’ dan x” adalah limit dari X, dengan x’ ¹ x”. Misalkan V’ lingkungan dari x’ dan V” adalah lingkungan dari x”, dengan

V’ Ç V” = 0/ .

Karena x’ limit  dari  X  maka  ada  bilangan  asli  K’  sehingga  jika  n  ³  K’  maka xn Î V’.Karena x” limit dari X maka ada bilangan asli K” sehingga jika n ³ K” maka xn Î V”. Pilih K = sup {K’, K”}. Maka K ³ K’ sehingga xK Î V’ dan K ³ K” sehingga xK Î V”. Berarti

Hal ini kontradiksi dengan

xK Î V’ Ç V”.

V’ Ç V” = 0/ .

Berarti pengandaian salah. Terbukti bahwa X dapat mempunyai tidak lebih dari satu limit. ◘

Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu barisan bilangan real mempunyai limit, maka limit barisan tersebut adalah tunggal.

Pada pendefinisian limit suatu barisan bilangan real, masih digunakan istilah lingkungan. Dengan demikian, masih dirasa sulit untuk menunjukkan bahwa suatu barisan bilangan real adalah konvergen. Berikut akan diberikan suatu teorema yang ekivalen dengan definisi limit barisan. Teorema ini akan mempermudah untuk menunjukkan bahwa suatu barisan bilangan real adalah konvergen atau divergen.

Teorema 3.2.3 Misalkan X = (xn) adalah barisan bilangan real dan x Î R. Pernyataan- pernyataan berikut adalah ekivalen.

a.    X konvergen ke x

b.   Untuk setiap Ve lingkungan-e dari x terdapat bilangan asli K sehingga untuk semua n ³

K, maka xn adalah anggota Ve.

c.    Untuk setiap e > 0 terdapat bilangan asli K sehingga untuk semua n ³ K, maka

x - e < xn < x + e.

d.   Untuk setiap e > 0 terdapat bilangan asli K sehingga untuk semua n ³ K, maka

⏐xn - x ⏐ < e.

Bukti: (a Þ b) Diketahui X konvergen ke x. Ambil sebarang  Ve  lingkungan-e dari x. Karena Ve adalah lingkungan dari x, sesuai Definisi 2.1.1, maka terdapat bilangan asli K sehingga untuk semua  n ³ K, maka xn adalah anggota V. Karena Ve

sebarang lingkungan-e  dari x terbukti bahwa untuk setiap Ve lingkungan-e  dari x

terdapat bilangan asli K sehingga untuk semua n ³ K, maka xn adalah anggota Ve.

(b Þ c) Ambil sebarang e > 0. Misalkan Ve adalah lingkungan-e dari x. Berarti ada bilangan asli K sehingga untuk semua n ³ K, maka xn Î Ve. xn Î Ve berarti

x - e < xn < x + e.

Karena e > 0 diambil sebarang berarti untuk setiap e > 0 terdapat bilangan asli K

sehingga untuk semua n ³ K, maka

x - e < xn < x + e.

(c Þ d)  Ambil sebarang e > 0.  Berarti ada bilangan asli K sehingga untuk semua n

³ K, maka xn Î Ve. Karena xn Î Ve berarti

x - e < xn < x + e.

Karena x - e < xn < x + e maka

⏐xn - x ⏐ < e.

Karena e > 0 diambil sebarang berarti untuk setiap e > 0 terdapat bilangan asli K

sehingga untuk semua n ³ K, maka

⏐xn - x ⏐ < e.

(d Þ a) Misalkan V sebarang lingkungan dari x. Sesuai definisi lingkungan, berarti ada e > 0 sehingga

Ve = (x - e, x + e) Í V.

Karena e > 0, berarti ada bilangan asli K sehingga untuk semua n ³ K, maka

⏐xn - x ⏐ < e.

Sehingga

berarti

⏐xn -  x ⏐ < e

x - e < xn < x + e.

Berarti bahwa untuk semua n ³ K, maka

x - e < xn < x + e.

Jadi xn Î Ve. Karena

Ve = (x - e, x + e) Í V,

berarti n ³ K, maka xn Î V. Berarti untuk V lingkungan dari x terdapat bilangan asli K sehingga untuk semua n ³ K, maka xn Î V. Karena V diambil sebarang berarti untuk setiap lingkungan V dari x terdapat suatu bilangan asli K sehingga untuk semua n ³ K, maka xn adalah anggota V. Sesuai definisi berarti X konergen ke x.    ◘