Nilai Mutlak

Definisi 2.2.1  Jika a Î R, nilai mutlak dari a, ditulis  a , didefinisikan dengan

⎧a,

a = ⎨

jika

a ³ 0

⎩- a,

jika a < 0

Sebagai contoh,  5  = 5, karena 5 ³ 0 dan

- 4 = -(-4) = 4, karena -4 <0.

Untuk selanjutnya pembaca dapat mengecek bahwa

a 2  = a . Selain itu, jika

a ¹ 0, maka –a ¹ 0, dan dengan demikian, maka  a > 0. Berikut disajikan beberapa sifat yang berkaitan dengan nilai mutlak.

Teorema 2.2.2

a.          - a

=  a , untuk setiap a Î R.

b.         a - b

= b - a , untuk setiap a, b Î R.

c.          ab = a b , untuk setiap a, b Î R.

d.        

2

a    = a 2 , untuk setiap a Î R.

e.            a 2  = a , untuk setiap a Î R.

f.         Jika r Î R, r ³ 0, maka

a £ r

jika dan hanya jika –r

£ a £ r .

g.        - a  £ a £  a , untuk setiap a Î R.  Bukti:

(a)  Misal a Î R sebarang. Jika a = 0, maka –a = 0, sehingga diperoleh

a  = 0 =

-  a .

Jika a > 0, maka –a < 0, sehingga diperoleh

a  = a = -(-a) = Jika a < 0, maka –a > 0, sehingga diperoleh

- a .

a  = -a =

-  a .

Karena a Î R sebarang, maka disimpulkan

- a  =  a , untuk setiap a Î R.

Bukti bagian (b)-(g) diserahkan sebagai latihan. ◘

Sifat berikut sangat penting dan banyak digunakan dalam buku ini, misalnya pada materi limit barisan.

Teorema 2.2.3 (Ketaksamaan Segitiga)  Jika a, b Î R. maka

a + b £ a + b .

Sebagai konsekuensi dari ketaksamaan segitiga, diperoleh dua ketaksamaan yang sangat berguna berikut ini.

Teorema 2.2.4 Untuk setiap a, b, c Î R, maka

(a)

a - b £

a - c + c - b .

(b)

a - b £

a + b .

(c)

a - b

£ a - b .

Bukti:

(a)      Jika a, b, c Î R, maka sesuai ketaksamaan segitiga, diperoleh

a - b = (a - c ) + (c - b )

.

£ a - c + c - b

(b)   dan (c) diberikan sebagai latihan.  ◘

Secara geometri,  a  menyatakan jarak dari a ke titik asal, yaitu 0.

Secara umum, untuk a, b Î R, jarak Euclid d(a, b) antara a dan b didefinisikan dengan

d(a, b) =

a - b .

Sebagai contoh, d(-2, 5) =

(-2) - 5 = - 7 = 7

dan

d(1, 7) =

1 - 7 = - 6 = 6 . Jarak d dapat juga dipandang sebagai fungsi dari

R ´ R ke R, yang memiliki sifat

(1)  d(x, y) ³ 0, dan d(x, y) = 0 jika dan hanya jika x = y.

(2)  d(x, y) = d(y, x)

(3)  d(x, y) £ d(x, z) + d(z, y)

untuk semua x, y, z Î R. Sifat yang terakhir juga disebut ketaksamaan segitiga.

Definisi 2.2.5  Misalkan a Î R, dan e > 0. Himpunan

Ve(a) = { x Î R⏐

disebut lingkungan-e dari a.

x - a < e }

Lingkungan dari a adalah sebarang himpunan yang memuat lingkungan-e dari a

untuk suatu e > 0.

Untuk suatu a Î R, dan e > 0, maka

Ve(a) = { x Î R⏐ a - e < x < a + e }.

Jadi, jika y Î Ve(a), berarti

a - e < y < a + e.

Teorema 2.2.6 Misal a Î R. Jika x Î R termuat dalam sebarang lingkungan dari a, maka x = a.

Bukti: Karena x termuat dalam sebarang lingkungan dari a, maka x Î Ve(a), untuk setiap e > 0. Andaikan x ¹ a, maka maka x – a ¹ 0 sehingga

x - a > 0.

Pilih e =

x - a , maka x Î Ve(a). Berarti

Diperoleh

x - a

< e =

x - a .

x - a

<  x - a .

Hal ini jelas tidak mungkin. Jadi, terbukti bahwa x = a. ◘

Latihan 2.2.

1.     Tunjukkan bahwa

x - a < e

jika dan hanya jika a - e < x < a + e .

2.     Jika a,b Î R tunjukkan bahwa

a + b = a + b

jika dan hanya jika ab ³ 0 .

3.     Jika a < x < b

dan

a < y < b

tunjukkan

x - y < b - a .

4.     Temukan semua x Î R

untuk memenuhi persamaan

x + 1 + x - 2 = 7

5.     Sketsalah gambar pada persamaan

y = x

- x - 1 .

6.     Tunjukkan  bahwa  jika

a,b,c Î R

maka

max{a,b} = 1 (a + b + a - b )

2

dan

min{a,b} = 1 (a + b - a - b )

2

7.     Tunjukkan bahwa jika a,b,c Î R

maka min{a,b, c}= min{min{a,b},c}.

2.2.            Sifat Kelengkapan pada R

Definisi 2.3.1 Misalkan E Í R. E disebut terbatas di atas (bounded above) jika terdapat v Î R sehingga  x £ v untuk semua x Î E, dan v disebut batas atas (upper bound) untuk

E.   E disebut terbatas di bawah (bounded below) jika terdapat u Î R sehingga u £ x untuk semua x Î E, dan u disebut batas bawah (lower bound) untuk E. E disebut terbatas (bounded) jika terbatas di atas dan terbatas di bawah.

Contoh 2.3.2

a.    Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Himpunan A terbatas di atas karena a £ 8, untuk semua a Î A. Himpunan A juga terbatas di bawah karena 0 £ a, untuk semua a Î A. Semua bilangan real v ³ 6 merupakan batas atas untuk A, dan semua bilangan real u £ 1 merupakan batas bawah untuk A. Jadi, himpunan A adalah terbatas.

b. Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, 4, …} terbatas di bawah dan 1 merupakan batas bawah, tetapi tidak terbatas di atas. Jika diberikan v Î R, maka terdapat n Î N sehingga n > v.

c.     Himpunan E = {1,

1 , 1 , 1 , ...}= { 1 ⏐ n Î N } terbatas di atas oleh sebarang

2  3  4              n

bilangan real v ³ 1 dan terbatas di bawah oleh sebarang bilangan real u £ 0. Batas atas terkecil adalah 1 dan batas bawah terbesar adalah 0.

d.    Himpunan kosong, yaitu 0/ , terbatas di atas dan terbatas di bawah oleh semua bilangan

x Î R. Dengan demikian,  0/  tidak mempunyai batas atas terkecil dan batas bawah terbesar.

Definisi 2.3.3 Misalkan E Í R, E ¹ atas terkecil (supremum) dari E jika (1). x £ v, untuk semua x Î E.

(2). v £ s, untuk semua s batas atas dari E.

0/ , dan terbatas di atas. v Î R disebut batas

Definisi di atas menyatakan bahwa agar v Î R menjadi supremum dari E maka

(1) v haruslah batas atas dari E, dan (2) v selalu kurang dari batas atas yang lain di E.  Definisi 2.3.4 Misalkan E Í R, E ¹ 0/ , dan terbatas di atas. u Î R disebut batas bawah terbesar (infimum) dari E jika

(1). u £ x, untuk semua x Î E.

(2). s £ u, untuk semua s batas bawah dari E.

Definisi di atas menyatakan bahwa agar u Î R menjadi infimum dari E maka

(1) u haruslah batas bawah dari E, dan (2) u selalu lebih dari batas bawah yang lain di E.

Suatu himpunan paling banyak mempunyai satu supremum atau infimum. Jika supremum dan infimum dari suatu himpunan E ada, maka masing-masing dinotasikan

sup E               dan                  inf E.

Teorema 2.3.5 Misalkan E Í R, E ¹ 0/ , dan terbatas di atas. v batas atas dari E adalah supremum jika dan hanya jika untuk setiap w Î R dengan w < v maka w bukan batas atas dari E.

Teorema 2.3.6 Misalkan E Í R, E ¹ 0/ , dan terbatas di atas. v batas atas dari E adalah supremum jika dan hanya jika untuk setiap wÎR dengan w<v terdapat xÎE sehingga w < x. Teorema 2.3.7 Misalkan E Í R, E ¹ 0/ , dan terbatas di atas. v batas atas dari E adalah supremum jika dan hanya jika untuk setiap e > 0 ada x Î E sehingga v - e < x.

Berikut ini akan disajikan suatu sifat yang berlaku pada R berkaitan dengan supremum. Sifat ini sangat penting dalam R dan akan banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Sifat yang dinyatakan dalam teorema berikut ini sering juga disebut dengan sifat kelengkapan pada R.

Aksioma Sifat Supremum pada R

Setiap himpunan tak kosong di R dan terbatas di atas mempunyai supremum.

Teorema 2.3.8 Setiap himpunan tak kosong di R dan terbatas di bawah mempunyai infimum.

Bukti: Misalkan E Í R, E ¹

0/ , dan terbatas di bawah. Definisikan

S = {-x ⏐ x Î E}.

Jika u batas bawah dari E, maka

u £ x,    untuk semua x Î E.

Diperoleh

-x £ -u,    untuk semua x Î E.

Jadi (-u) adalah batas atas dari S. Karena S tidak kosong dan terbatas di atas, maka S mempunyai supremum. Jika v adalah supremum dari S, maka (-v) adalah infimum dari E.

Teorema 2.3.9 (Sifat Archimedes) Jika xÎR, maka terdapat bilangan asli  n Î N sehingga x <n.

Bukti: Misalkan x Î R, dan andaikan tidak ada n Î N sehingga x < n. Berarti, untuk semua n Î N berlaku n £ x. Jadi, N terbatas di atas oleh x.

Karena  N ¹ 0/

dan terbatas di atas maka N mempunyai supremum,  katakan

v Î R. Karena    v – 1 < v, maka ada m Î N sehingga v – 1 < m. Diperoleh v < m + 1. Karena m + 1 Î N, berarti v bukan batas atas dari N. Kontradiksi dengan v supremum dari N. Terbukti terdapat bilangan asli n Î N sehingga x < n. ◘

Teorema 2.3.10 Misalkan x, y Î R, x > 0 dan y > 0. Maka

(a)  Ada n Î N sehingga x < ny.

(b)  Ada n Î N sehingga 0 <

1 < y.

n

(c)  Ada n Î N sehingga n – 1 < x < n.

Bukti: (a) Karena x > 0 dan y > 0, maka  x

y

ada n Î N sehingga

> 0. Sesuai sifat Archimedes, maka

Diperoleh

x  < n. y

x < ny.

Bagian (b) dan (c) diserahkan sebagai latihan. ◘

Teorema 2.3.11 (Sifat Kepadatan pada R) Misalkan x, y Î R, dengan x < y. Maka ada bilangan rasional r sehingga

x < r < y.

Bukti: Tanpa mengurangi sifat keumuman, misalkan x > 0. Karena y – x > 0, maka terdapat n Î N sehingga

Diperoleh atau

1     < n.

y - x

ny – nx > 1

ny > nx + 1.

Karena nx > 0, maka, terdapat m Î N maka

m – 1 < nx < m,

sehingga

Jadi diperoleh

m < nx + 1.

m < ny.

Jadi nx < m < ny, dan dengan mengambil r =

m diperoleh x < r < y. ◘

n

Teorema 2.3.12 Misalkan x, y Î R, dengan x < y, maka ada bilangan irrasional p sehingga

Latihan 2.3.

x < p < y.

1.       Misalkan P = {x Î R : x > 0}, Apakah P mempunyai batas bawah, batas atas dan inf( P ), sup(P )ada? Buktikan pernyataan anda.

2.       Misalkan

⎧

X = ⎨1 -

⎩

(- 1)n

n

⎫

: n Î N⎬ , carilah inf( X ), sup( X ) .

⎭

3.       Misalkan S Í R ¹ 0/ . Tunjukkan bahwa u Î R merupakan batas atas S jika dan hanya jika t Î R dan t > u berakibat t Ï R .

4.       Tunjukkan jika A dan B terbatas pada subset R maka tebatas dan sup(A È B) = sup{sup A,sup B}. A È B himpunan

5.       Misalkan S Í R ¹ 0/ dan andaikan bahwa s *  = sups dengan s * Î S jika u Ï S tunjukkan bahwa sup(S È {u}) = sup{s * , u}.

6.       Tunjukkan bahwa sup⎨1 - 1 : n Î N⎬ = 1 .

⎧                ⎫

⎩  n            ⎭

7.       Jika

S = ⎨1 - 1 : n, m Î N⎬,

carilah inf S

dan supS .

⎧                      ⎫



⎩n m                ⎭

8.       Misalkan S ¹ 0/ dan S terbatas di R jika a > 0 dan aS = {as : s Î S}, buktikan inf (aS ) = a inf S dan sup(aS ) = a supS .

9.      Misalkan X ¹ 0/ dan f : X ® R terbatas  di  R.  Jika a Î R ,  tunjukkan sup{a + f (x ) : x Î X}= a + sup{f (x ) : x Î X}.

10.    Misalkan A, B Í R dan terbatas pada R, jika A + B = {a + b : a Î A,b Î B} buktikan sup(A + B) = sup A + sup B dan inf (A + B) = inf (A)+ inf (B).