Himpunan adalah kumpulan
objek-objek yang terdefinisi dengan jelas (well defined). Objek-objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut
unsur atau anggota
himpunan. Himpunan biasanya disimbolkan dengan huruf kapital,
seperti A, B, C, dan D, sedangkan anggota
himpunan disimbolkan dengan
huruf kecil, seperti
a, b, c, dan d.
Jika a adalah unsur pada himpunan A, maka ditulis a Î A. Jadi, perlu dipahami
bahwa tulisan a Î A mempunyai
arti bahwa a anggota himpunan
A, a unsur himpunan
A, A memuat a, atau a termuat di A. Jika a bukan unsur pada himpunan A, maka ditulis
a Ï A. Himpunan
yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong
dan dinotasikan dengan
0/ .
Himpunan dapat dinyatakan dalam dua bentuk penulisan, yaitu
bentuk tabular (tabular form) dan bentuk pencirian (set-builder form). Bentuk tabular adalah penulisan himpunan
dengan mendaftar semua anggotanya di dalam tanda kurung kurawal {
}. Sebagai contoh,
A
= {2, 4, 6, 8, 10} menyatakan bahwa himpunan A memuat
bilangan 2, 4, 6, 8, dan 10. Bentuk
pencirian adalah penulisan himpunan dengan
menyebutkan sifat atau syarat
keanggotan anggota
himpunan tersebut, misalnya
A = { x ⏐1 < x < 10}.
Secara lebih umum, himpunan dapat didefinisikan sebagai kumpulan semua x
yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan. Notasi
mendefinisikan A sebagai himpunan semua x yang memenuhi
syarat P(x). Notasi tersebut dibaca “A adalah himpunan x sedemikian hingga
P(x)”. Sebagai contoh
A = { x ⏐1 < x < 10}
dibaca A adalah himpunan
x
sedemikian hingga 1 < x < 10. Notasi
juga digunakan
untuk menyatakan bahwa A memuat semua unsur x di
B
yang memenuhi
syarat P(x).
Beberapa himpunan
yang akan sering ditemui dalam buku ini adalah sebagai berikut.
N = Himpunan
bilangan asli
atau bilangan bulat positif
= {1, 2, 3, …}
W = Himpunan bilangan cacah
atau bilangan bulat nonnegatif =
{0, 1, 2, …}
Q = Himpunan bilangan rasional = {
R = Himpunan bilangan real.
a ⏐ a, b Î Z, b ¹ 0}
b
Himpunan bilangan real yang tidak dapat
dinyatakan sebagai
a dengan a, b Î Z
b
dan b ¹ 0
disebut himpunan bilangan irrasional. Bilangan
contoh bilangan irrasional.
, , dan
adalah
Definisi 1.1.1 Misalkan A dan B himpunan. A dikatakan himpunan bagian
(subset) dari B, ditulis A Í B, jika setiap unsur di
A merupakan unsur di B.
Secara simbolik,
A Í
B Û (x Î A Þ x Î
B)
Tulisan A Í B dapat dimaknai bahwa A subset B, A termuat di B, atau B memuat
A.
Jika A subset
B
dan ada unsur di B yang tidak
termuat di A, maka A disebut
subset sejati dari B, dan ditulis
A
Ì B.
Definisi 1.1.2 Misalkan A dan B himpunan.
A dikatakan sama dengan B, ditulis A = B, jika A
subset B dan B subset
A.
Secara simbolik,
Definisi 1.1.3 Misalkan A dan B himpunan. Gabungan A dan B, ditulis
A È B, adalah himpunan yang memuat semua unsur di A atau B.
Secara simbolik,
A È B = { x ⏐x Î A Ú x Î B}.
Kata “atau”
bermakna bahwa x termuat di A saja, B saja, atau di A sekaligus B. Definisi 1.1.4 Misalkan
A dan B himpunan. Irisan A dan B, ditulis
A Ç B, adalah himpunan yang memuat semua unsur di A dan B.
Secara simbolik,
A Ç B = { x ⏐x Î A Ù x Î B }.
Kata “dan” bermakna bahwa x termuat di A sekaligus di B. Jika A Ç B = Æ, maka
A dan B
disebut himpunan yang
saling lepas (disjoint).
Definisi 1.1.5 Misalkan A dan B himpunan. Komplemen relatif dari A di B, ditulis B\A, adalah himpunan yang
memuat semua unsur di B tetapi tidak
termuat di A.
Secara simbolik,
B\A =
{ x Î B ⏐ x Ï A}.
Jika A
adalah subset dari himpunan
tertentu
B, maka B\A biasanya disebut
komplemen dari A dan
ditulis Ac. Akan diperoleh bahwa
(Ac)c = A dan B = A È Ac.
Berikut ini disajikan beberapa teorema
dasar berkenaan dengan operasi pada himpunan.
b. A È
(B Ç
C) = (A È
B) Ç
(A È C)
Bukti: Pada
buku ini akan dibuktikan bagian a dan
yang lain diberikan sebagai latihan.
Untuk membuktikan
A Ç (B È C) Í (A Ç
B) È
(A Ç C)
dan
Untuk menunjukkan
diambil sebarang
maka x Î A dan
(A Ç B) È (A Ç C) Í A Ç
(B È C)
A Ç (B È C) Í (A Ç B) È (A Ç C), x Î A Ç (B È C),
x Î
(B È
C). x Î (B
È C)
berarti x Î B atau x Î C. Jika x Î
B, maka x Î A Ç B. Sehingga
diperoleh
x Î (A Ç B) È (A Ç C).
Jika x Î C,
maka Sehingga diperoleh
Karena untuk sebarang berlaku maka disimpulkan Untuk menunjukkan
x Î
A Ç C.
x Î (A Ç B) È (A Ç C). x Î A Ç (B È C)
x Î (A Ç B) È (A Ç C),
A Ç
(B È
C) Í (A Ç B) È (A Ç C).
(A Ç B) È (A Ç C) Í A Ç
(B È C)
diambil sebarang
x Î (A Ç B) È (A Ç C).
Diperolah x Î(A Ç B) atau x Î (A Ç C). Jika x Î (A Ç B), maka x Î A dan x Î
B. Karena x Î B,
maka x Î (B È C). Diperoleh
x Î
A Ç (B È
C).
Jika x Î (A Ç C), maka x Î A dan x Î C. Karena x Î C, maka x Î (B È C). Diperoleh
x Î
A Ç (B È
C).
Karena untuk sebarang x Î (A Ç B) È (A Ç C)
berlaku
x Î
A Ç (B È
C),
maka disimpulkan
(A Ç B) È (A Ç C) Í A Ç
(B È
C).
Dengan demikian, terbukti
a.
(A È B)c = Ac Ç Bc.
b.
(A Ç B)c = Ac È Bc.
dan
Untuk menunjukkan
(A È B)c Í Ac Ç Bc
diambil sebarang x Î (A È B)c, maka x Ï A È B. Karena x Ï A È B, maka x Ï A
dan x Ï B. Jadi,
x Î Ac dan x Î Bc. Dengan
kata lain, x Î Ac Ç Bc.
Diperoleh
(A È B)c Í Ac Ç Bc.
Untuk menunjukkan
Ac Ç Bc Í
(A È B)c
Diambil sebarang
x
Î Ac Ç Bc, maka x Ï A dan x Ï B. Diperoleh x Ï A È B. Sesuai definisi,
maka x Î (A È B)c. Jadi,
Ac Ç Bc Í
(A È B)c
Definisi 1.1.8 Misalkan A dan B himpunan. Perkalian Cartesius dari A dan B, ditulis A ´ B, adalah himpunan semua pasangan berurutan
(a, b), dengan
a Î A dan b Î B.
A ´ B = {(1, a), (1, b), (1,
c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)}.
Perkalian Cartesius dari R dan R ditulis
dengan R2
dan sering digambarkan sebagai bidang
Cartesius.
Latihan 1.1
1. Misalkan
A
= {-2, -1, 0, 1, 2}, B ={0,
1, 2, 3}, dan C ={0,
2, 4, 6}
a.
Tentukan A È B, B È C, A È C, A Ç B, A Ç C, B Ç C, A Ç (B È C), A\B, C\B,
dan B\(A È C).
b. Tentukan A ´ B, C ´ B, (A ´ B) Ç (C ´ B), (A Ç C) ´ B.
c.
Apa hubungan
yang diperoleh antara (A ´ B) Ç (C ´ B) dan (A Ç C) ´ B? Buktikan hubungan tersebut
untuk sebarang himpunan A, B, dan C.
2.
Jika A dan B himpunan, buktikan bahwa a. A È Æ = A. A Ç Æ = Æ.
b.
A È A = A. A Ç A = A.
c.
A È
B = B È A. A Ç
B = B Ç A.
3.
Benar atau salah (Jika benar buktikan, jika salah beri contoh penyangkal)
a. Jika A Í B dan B
Í C, maka A Í C.
b.
Jika A Í C dan B Í C, maka A È B Í C. c. A È (B Ç C) = (A È B) Ç C.
d. (A Ç B) È (B Ç C) È (A Ç C) = A Ç B Ç C.
4.
Jika A, B, dan C himpunan, buktikan bahwa a. A È (B È C) = (A È B) È C.
b. A Ç
(B Ç
C) = (A Ç B) Ç C.
5.
Jika A Í B, buktikan
bahwa
a. A È B
= B.
b. A Ç B
= A.
6.
Jika A subset dari himpunan X, buktikan bahwa
a. A È Ac = X.
b. A Ç Ac = Æ.
c. (Ac)c = A.
7.
Jika A, B, dan C himpunan, buktikan bahwa
A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C).
8. Jika A dan B adalah subset dari himpunan S, buktikan
bahwa (A Ç B)c =
Ac
È Bc.
9.
Jika A dan B adalah subset dari himpunan
S, buktikan bahwa
A\B = A Ç Bc.
10.
Jika A dan B adalah himpunan, tunjukkan bahwa
(A Ç B) dan A\B adalah saling lepas dan buktikan bahwa
A = (A Ç B) È (A\B)
11. Jika A, B,
dan C himpunan, buktikan
bahwa (A ´ B) È (A ´ C) = A ´
(B È C).
12.
Tunjukkan jika f : A ® B dan E, F Ì A
maka
f (E È F ) = f (E)È f (F )
dan
f (E Ç F ) Í f (E)Ç f (F ) .
13.
Tunjukkan jika
f : A ® B dan G, H Ì B
maka
f -1 (G È H ) = f -1 (G)È f -1 (H ) dan
f -1 (G Ç H ) = f -1 (G)Ç f -1 (H ) .
14.
Berikan suatu contoh
pada fungsi f , g : R ® R sedemikian sehingga f ¹ g akan
tetapi berlaku f o g = g o f .
15.
Buktikan jika f : A ® B bijektif dan g :B ® C bijektif maka g o f bijektif dengan
A
surjektif pada C.
16.
Misalkan f : A ® B dan g :B ® C sehingga
17.
Tunjukkan jika
18.
Tunjukkan jika
No comments:
Post a Comment
you say