Pada sebagian besar buku teks, fungsi f dari himpunan
A ke himpunan
B didefinisikan sebagai aturan yang memasangkan masing-masing anggota A dengan
tepat satu anggota B. Jika a Î A oleh f
dipasangkan dengan b Î B, maka ditulis
f(a)
= b.
Pada definisi tersebut masih menyisakan masalah mengenai “aturan” dan “memasangkan”. Seseorang mungkin bertanya, “Aturan yang bagaimana?” dan “Memasangkan bagaimana?”Pada buku-buku teks yang lain, fungsi dedifinisikan sebagai grafik. Definisi ini juga masih belum jelas karena grafik itu sendiri belum jelas definisinya. Jika berbicara grafik pada bidang, akan diperoleh bahwa grafik tersebut adalah kumpulan titik-titik. Masing-masing titik adalah pasangan berurutan bilangan-bilangan. Berdasarkan alasan ini, maka akan diberikan definisi fungsi yang lebih
mudah diterima dan dipahami.
B yang memenuhi
sifat berikut.
1.
Untuk masing-masing a Î A, ada b Î B sehingga
(a, b) Î f.
2. Jika (a, b),
(a, c) Î f, maka b
= c.
Himpunan A disebut domain dari f, dan ditulis dengan Df. Range dari f, ditulis Rf, didefinisikan dengan
Rf = { b Î B ⏐(a, b) Î f, untuk suatu a Î A).
Pada definisi 1.2.1, fungsi f dari A ke B tidak sekedar subset A ´ B. Kata kunci dari definisi 1.2.1 adalah bahwa masing-masing a Î A menjadi komponen pertama dari tepat satu pasangan berurutan (a, b) Î f. Pada definisi
1.2.1, tidak ada syarat bahwa A dan B haruslah himpunan
tak kosong. Bagaimana jika himpunan A atau himpunan B adalah himpunan kosong?
Jika f
fungsi dari A ke B dan (a, b) Î f, maka b disebut nilai dari fungsi f di a
dan
akan ditulis
b = f(a) atau f : a a b.
Dalam buku ini juga digunakan notasi f : A ® B untuk menyatakan bahwa f fungsi
dari A ke B. Notasi f : A ® B dapat diartikan dengan f memetakan
A ke B atau f pemetaan dari A ke B. Jika f : A ® R, maka f disebut fungsi
bernilai real pada A. Berikut ini beberapa contoh untuk lebih memahami definisi fungsi.
1.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4}dan B = {-2, -1, 0, 1, 2}. Misalkan
f subset
A ´ B dengan f = {(1, 2), (2, -1), (3, 0), (4, 2)}, maka f adalah fungsi dari A ke B dan Rf = {-1, 0, 2}. Masing-masing a Î A berada pada tepat satu pasangan
berurutan (a, b) Î f. Meskipun 2 Î B berada pada dua pasangan berurutan berbeda
(1, 2) dan (4, 2), hal ini tidak bertentangan dengan
definisi fungsi.
2.
Misalkan A dan B
sama seperti pada nomor 1, dan g didefinisikan dengan
g = {(1, 2), (2,
1), (3, 3), (4, 0)}.
Maka g bukan fungsi dari A ke B karena g bukan subset A ´ B. Ada (3, 3) Î g
tetapi (3, 3)
Ï A ´ B.
3.
Misalkan A dan B
seperti pada nomor 1, dan f didefinisikan dengan
f = {(1, -2), (2, -1), (4, 2)}.
Maka
f
bukan fungsi dari A ke B, karena ada 3
Î A tetapi tidak ada b Î B
sehingga
(3, b) Î f.
4.
Misalkan A dan B
seperti pada nomor 1, dan h didefinisikan
dengan
h = {(1, -2), (2, -1), (2, 1), (3, 0), (4, 2)}.
Maka h bukan fungsi dari A ke B karena (2, -1), (2, 1) Î f, tetapi -1 ¹ 1.
5.
Misalkan A = B = R,
dan misalkan f didefinisikan dengan
f = {(x, y) Î R2 ⏐ y = 3x + 2}.
Maka f adalah fungsi (Mengapa?) dengan Df = R. Fungsi f dinyatakan oleh persamaan
y =
3x + 2. Notasi standar untuk menyatakan fungsi f adalah
f(x) =
3x + 2 dengan Df = R.
Pada contoh nomor 5, f(x) = 3x + 2 tidak dapat langsung
disebut sebagai fungsi sebelum
jelas domainnya. Dalam hal ini
f(x) = 3x + 2, dengan Df = {x Î R ⏐ x > 0}
dan
g(x)
= 3x + 2, dengan Dg = R
adalah
dua fungsi yang berbeda. Penjelasan
ini membawa pada definisi berikut.
Definisi 1.2.2 Misalkan f fungsi dari A ke B, dan A1 Í A. Fungsi g dari A1 ke B dengan g = {(a, b) Î f ⏐ a Î A1},
disebut penyempitan (restriksi)
dari f pada A1.
Sesuai definisi
1.2.2, diperoleh bahwa g adalah restriksi
dari f jika Dg Í Df dan
g(x) = f(x),
untuk semua x Î A.
Definisi 1.2.3 Misalkan f fungsi dari A ke B, dan A Í A1. Fungsi g dengan domain A1 sedemikian hingga
g(x) = f(x), untuk
semua x Î A, disebut perluasan (ekstensi) dari f pada A1.
Pada contoh sebelumnya
f(x) = 3x + 2, dengan Df = {x Î R ⏐ x > 0}
dan
g(x)
= 3x + 2, dengan Dg = R
adalah dua fungsi yang berbeda. Karena Df Í Dg dan f(x) = g(x), untuk semua x Î Df, maka f adalah penyempitan dari g pada {x Î R⏐
x >0}. Sebaliknya, karena Df Í Dg dan g(x) = f(x), untuk semua x Î Df, maka g adalah perluasan dari f pada
R. Definisi
1.2.4 Misalkan A, B himpunan, dan f fungsi dari A ke B. Fungsi f disebut
fungsi pada jika
Rf = B.
Berdasarkan definisi 1.2.4, f : A ® B disebut fungsi pada jika untuk masing- masing b Î B terdapat a Î A sehingga f(a) = b. Untuk selanjutnya, perlu dibedakan antara kalimat “f fungsi dari A ke B” dengan “f fungsi dari A pada B”. Fungsi pada sering disebut
juga dengan fungsi surjektif, fungsi pada atau fungsi onto. Jika f fungsi surjektif, maka f disebut surjeksi.
Definisi 1.2.5 Misalkan A, B himpunan,
dan f fungsi dari A ke B. Jika E Í A, maka bayangan (image) dari E oleh f,
ditulis f(E), didefinisikan dengan
f(E) = { f(x) ⏐x Î E}.
Jika H Í B, maka bayangan balikan (inverse image) dari H oleh f, ditulis f-1(H), didefinisikan dengan
Jika H = {y}, maka
f-1({y}) akan ditulis dengan f-1(y). Jadi,
jika y Î B, maka
f-1(y) = { x Î A ⏐ f(x) = y}.
Berdasarkan definisi
1.2.5, diperoleh bahwa jika E Í A, maka
f(E) Í B.
|
Jika H Í B, maka f-1(H) Í A. Pembaca
akan melihat bahwa f(A) = R , sehingga f adalah fungsi onto jika dan hanya jika f(A) = B. Perlu diperhatikan bahwa sampai saat ini belum ada definisi mengenai f-1 sendiri. Untuk memahami definisi bayangan dan
bayangan balikan, perhatikan beberapa contoh berikut.
1.
Misalkan A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B
= Z, dan f : A ® Z didefinisikan dengan
f =
{(1, -2), (2, 4), (3, 1), (4, 3), (5, 0), (6, -2)}.
Misalkan E = {2, 3, 4} Í A, maka
f(E) = {f(2),
f(3), f(4)} = {4, 1, 3}.
Jika H =
{-2, -1, 0, 1, 2,
3}, maka
f-1(H) = {1, 3, 4, 5, 6}.
Karena f(1) = f(6) = -2, maka f-1(-2) = {1, 6}. f-1(2) = Æ karena tidak ada a Î A
sehingga f(a) = 2.
2.
Misalkan f
: Z ® Z dengan f(x)
= x2. Jika E = N, maka
f
(E) =
{1, 4, 9, …}.
akan
diperoleh
Dalam contoh ini E Í f-1(f(E)).
f-1(f(E)) =
Z\{0}.
3. Misalkan f : R ® R dengan f(x)
= 3x + 2.
Jika E = { x Î R⏐ -2 < x £ 4}, maka
f(E) = {f(x) ⏐x Î E}
= {3x + 2 ⏐-2 < x £ 4}
= { y Î R ⏐4 < y £ 14},
dan
f-1(E) = { x Î R⏐ f(x) Î E}
= { x Î R ⏐ 3x + 2 Î E}
= { x Î R ⏐ - 4 < x £ 2 }.
3 3
Misalkan f adalah fungsi dari A ke B. Jika A1 Í A2 Í A, maka akan diperoleh
f(A1) Í f(A2). Demikian juga, jika B1 Í B2 Í B,
maka
f-1(B ) Í f-1(B ).
1 2
Teorema 1.2.6 Misalkan f adalah fungsi dari A ke B. Jika A1 Í A2 Í A, maka
a. f(A1 È A2) = f(A1) È f(A2),
b. f(A1 Ç A2) Í f(A1) Ç f(A2).
Bukti: Untuk membuktikan bagian a, perlu ditunjukkan
bahwa
f(A1 È A2) Í f(A1) È f(A2)
dan
Untuk membuktikan
f(A1) È f(A2) Í f(A1 È A2).
f(A1 È A2) Í f(A1) È f(A2),
ambil
sebarang y Î f(A1ÈA2). Maka y = f(x),
untuk suatu x Î A1È A2. Jadi, x Î A1 atau x Î A2.
Jika x Î A1, maka
Jika x Î A2, maka
Jadi, diperoleh
Disimpulkan bahwa
Untuk membuktikan
diperoleh bahwa
y
= f(x) Î f(A1).
y
= f(x) Î f(A2).
y
= f(x) Î f(A1) È f(A2).
f(A1 È A2) Í f(A1) È f(A2).
f(A1) È f(A2) Í f(A1 È A2),
sehingga
selanjutnya
Terbukti bahwa
Jadi, diperoleh
A1 Í A1 È A2
f(A1) Í f(A1 È A2) dan A2 Í A1 È A2 f(A2) Í f(A1 È A2).
f(A1) È f(A2) Í f(A1 È A2).
f(A1 È A2) = f(A1) È f(A2).
Untuk
bukti bagian b, diketahui bahwa
A1 Ç A2 Í A1 dan A1 Ç A2 Í A2
sehingga diperoleh
Disimpulkan bahwa
f(A1 Ç A2) Í f(A1) dan f(A1 Ç A2) Í f(A2). f(A1 Ç A2) Í f(A1) Ç f(A2).
Misalkan f : Z ® Z dengan f(x)
= x2. Jika
A1 =
{0, 1, 2, 3, 4, …}
dan maka
A2 = {0, -1, -2, -3, -4, …},
f(A1) = f(A2) =
{0, 1, 4, 9, 16, …}.
Karena A1 Ç A2 =
{0}, maka
f(A1 Ç A2) = f(0) = {0} ¹ f(A1) Ç f(A2) = {0, 1, 4, 9, 16, …}.
Hal ini
menunjukkan bahwa kesamaan
pada Teorema
1.2.6.b tidak
selamanya
berlaku.
a.
f-1(B
È B ) = f-1(B ) È f-1(B ),
1 2 1 2
b.
f-1(B
Ç B ) = f-1(B ) Ç f-1(B ),
|
(a). Ambil sebarang x Î f-1(B
È B2). Sesuai definisi, maka
f(x) Î B1 È B2.
Jika f(x) Î B1, maka x
Î f
-1(B ). Jika f(x) Î B , maka
x Î
f
-1(B ).
|
|
Diperoleh bahwa x Î f-1(B ) È f-1(B ). Dengan demikian
1
f-1(B
2
È B ) Í f-1(B ) È f-1(B ).
1 2 1 2
Diketahui bahwa B1 Í B1 È B2 dan B1 Í B1 È B2 sehingga
dan
f-1(B ) Í f-1(B
|
|
f-1(B ) Í f-1(B
È B2)
È B ).
Jadi diperoleh bahwa
1 1 2
f-1(B ) È f-1(B ) Í f-1(B
È B ).
Karena
1 2 1 2
f-1(B
È B ) Í f-1(B ) È f-1(B )
dan
1 2 1 2
f-1(B ) È f-1(B ) Í f-1(B
È B ),
maka terbukti
1 2 1 2
f-1(B
È B ) = f-1(B ) È f-1(B ).
1 2 1 2
(b). Diketahui bahwa B1 Ç B2
Í B1
dan B1 Ç B2
Í B2. Dengan demikian, maka
f-1(B
Ç B ) Í f-1(B )
dan
1 2 1
f-1(B
Ç B ) Í f-1(B ).
Jadi,
1 2 2
f-1(B
Ç B ) Í f-1(B ) Ç f-1(B ).
1 2 1 2
Ambil sebarang x Î f-1(B ) Ç f-1(B ), maka x Î f-1(B ) dan x Î f-1(B ). Jadi,
1 2 1 2
f(x) Î B1 dan f(x) Î B2. Diperoleh
f(x) Î B1 Ç B2.
Sesuai definisi, maka
Dengan demikian
|
x Î f-1(B
Ç B2).
f-1(B ) Ç f-1(B ) Í f-1(B
Ç B ).
Karena
1 2 1 2
f-1(B ÇB ) Í f-1(B ) Ç f-1(B )
dan
1 2 1 2
f-1(B )Ç f-1(B ) Í f-1(B Ç B ),
maka terbukti
1 2 1 2
f-1(B
Ç B ) = f-1(B ) Ç f-1(B ).
1 2 1 2
(c). Diberikan
sebagai latihan.
Definisi 1.2.8 Misalkan f adalah fungsi dari A ke B. f disebut
fungsi satu-satu jika x, y Î A, dengan f(x) = f(y), maka x = y.
Definisi 1.2.8 dapat juga dinyatakan dengan f fungsi satu-satu jika x, y Î A dengan x ¹ y, maka f(x) ¹ f(y). Jadi, fungsi f dari A ke B disebut fungsi satu-satu jika masing-masing unsur berbeda di A mempunyai
bayangan yang berbeda di
B. Fungsi satu-satu sering juga disebut dengan fungsi injektif. Jika f fungsi injektif,
maka f disebut injeksi.
Pembuktian bahwa fungsi f adalah satu-satu
dapat dilakukan dengan menggunakan syarat “jika f(x) = f(y), maka x = y” atau “jika x ¹ y, maka f(x) ¹ f(y)”. Contoh berikut akan
menjelaskan cara membuktikan bahwa suatu fungsi adalah satu-satu.
Misalkan f : R ® R dengan
f(x) = 3x + 2. Akan ditunjukkan bahwa f fungsi satu-satu.
Pertama digunakan bukti langsung menggunakan definisi. Ambil
sebarang x,
y
Î A, dengan
f(x)
=
f(y).
Karena f(x) = f(y), maka
diperoleh
3x + 2 = 3y + 2. Kedua ruas ditambah
–2 dan kemudian dibagi 3, maka didapat x = y. Karena untuk sebarang x, y Î A, dengan
f(x) = f(y) berlaku x = y, maka disimpulkan f fungsi satu-satu. Kedua digunakan bukti tidak langsung. Ambil sebarang x, y Î A, dengan
x ¹ y. Akan ditunjukkan bahwa f(x) ¹ f(y). Andaikan
f(x) = f(y), maka 3x + 2 = 3y + 2. Akibatnya, diperoleh x = y. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui bahwa x ¹ y. Berarti pengandaian salah, dan yang benar adalah f(x) ¹ f(y). Karena untuk sebarang
x, y Î A, dengan x ¹ y berlaku
f(x) ¹ f(y), disimpulkan
f fungsi satu-satu.
Berdasarkan definisi 1.2.8, f fungsi satu-satu
dari A ke B jika dan hanya jika f-1(y) memuat
paling banyak satu elemen, untuk setiap y Î B. Jika f fungsi onto, maka f-1(y) memuat tepat satu elemen x Î A, untuk setiap y Î B. Dengan demikian, jika f fungsi satu-satu dari A pada B, maka himpunan g dengan
g = { (y, x) Î B ´ A ⏐ f(x) = y}
adalah
fungsi dari B ke A. Selain itu, g merupakan fungsi satu-satu dari A pada B
(Mengapa?). Hubungan antara fungsi f dan g adalah
sebagai berikut.
Dg = Rf dan Rg = Df,
serta
(y,
x) Î g jika
dan hanya jika (x, y) Î f.
g(y) = x jika dan hanya jika f(x) = y.
Penjelasan ini membawa pemahaman pada
definisi berikut.
f-1 = { (y, x) Î B ´ A ⏐ f(x) = y}.
Berdasarkan penjelasan
sebelumnya, maka untuk setiap y Î B,
f-1(y) =
x
jika dan
hanya jika f(x) = y.
Perlu dijelaskan perbedaan antara f-1(H) dengan f-1. Jika f adalah fungsi dari A ke B, dan
y Î B sebarang, maka f-1(y)
[yang sebenarnya adalah f-1({y})]
didefinisikan sebagai himpunan semua x Î A sehingga f(x) = y. Jika f adalah fungsi satu-satu
dari A pada B, dan y Î B sebarang, maka f-1(y) adalah nilai dari fungsi invers f-1 di y. Dengan demikian, (y,
x) Î f-1 dapat ditulis dengan f-1(y)
= x.
Berikut ini beberapa contoh mengenai
fungsi invers.
1.
Misalkan f : R ® R dengan f(x) = 3x + 2. Fungsi f adalah fungsi satu-satu
dari
R
pada R dan f-1 diberikan dengan f-1(y) =
1 (y
– 2), dengan D
= R.
3 f-1
2.
Misalkan f : R ® R dengan
f(x) = x2. Akan diperoleh
bahwa f bukan fungsi satu-satu karena ada –2, 2 Î R,
dengan –2 ¹ 2 tetapi
f(-2)
= f(2) =
4.
Jika Df = A = { x Î R ⏐x ³ 0}, maka f adalah fungsi satu-satu
dari A pada A.
Misalkan x, y Î A dengan x ¹ y. Anggaplah x < y, maka diperoleh
x2 < y2 ,
yakni f(x) ¹ f(y). Untuk menunjukkan bahwa f fungsi pada, perlu ditunjukkan
bahwa untuk setiap y Î A, ada x Î A sehingga
f(x) = y. Secara intuitif, karena y
³ 0 diketahui bahwa x ada yaitu x = y [Pembuktian secara formal mengenai eksistensi x sehingga
x = y , jika y ³ 0, akan ditunjukkan pada bagian selanjutnya]. Karena f fungsi satu-satu
dari A pada A, maka f-1 ada yaitu f-1(y) =
, dengan Df-1 = { y Î R ⏐y ³ 0}.
Misalkan f fungsi dari A ke B, dan g fungsi dari B ke C. Jika a Î A, maka f(a) Î B. Karena B = Dg, maka f(a) oleh g akan dipetakan
ke g(f(a)) di C. dengan cara ini, akan diperoleh suatu fungsi h dari A ke C yang memetakan
a Î A ke g(f(a)) di
A. Sebagai ilustrasi,
perhatikan Gambar 1.1 berikut.
·
|
f g
a B ·
g(f(a
h
C
A
Gambar 1 Komposisi
g dengan f.
Jadi,
h adalah fungsi
dari A ke C dengan
h(a)
= g(f(a)),
untuk setiap a Î A.
Definisi
1.2.10 Misalkan f fungsi
dari A ke B, dan
g fungsi dari B ke C. Fungsi g o f : A ® B, yang didefinisikan dengan
g o f = {(a, c) Î A ´ C ⏐ c = g(f(a))} disebut komposisi dari g dengan f.
Berdasarkan definisi 1.2.10, syarat agar komposisi dari g dengan f terdefinisi adalah Rf haruslah
subset dari Dg. Untuk memahami
definisi 1.2.10, perhatikan beberapa
contoh berikut.
1.
Misalkan f : R ® R dengan f(x) = x2 dan g : R ® R dengan g(x) = x + 1.
Maka
|
dan
(g
o f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 +
1, dengan D
=
R,
(f o g)(x)=f(g(x))=g(x
+1)=(x + 1)2 = x2+2x +1, dengan D(f og) =R.
Berdasarkan contoh ini,
diperoleh bahwa (g
o f) ¹ (f o g).
2.
Misalkan
f(x) =
Misalkan
f(x) =
, dengan Df = {x Î R ⏐x ³ 0} dan g(x) = x2,
dengan Dg = R. Maka
(g
o f)(x) = g(f(x)) = g( x ) = x,
dengan D(g o f) = {x Î R ⏐x ³ 0}. Meskipun (g o f)(x) = x, berlaku untuk semua xÎ
R, domain g o f adalah
{x Î R ⏐x ³ 0} bukan R.
(a)
Jika f dan g
fungsi injektif, maka g o f
adalah fungsi injektif.
(b)
Jika g o f adalah fungsi
injektif, maka f adalah fungsi
injektif.
Bukti:
(a)
Ambil sebarang a,
b Î A dengan (g o f)(a) = (g
o f)(b). Akan ditunjukkan bahwa
a = b. Karena
berarti
(g
o f)(a) = (g o f)(b),
g(f(a))
= g(f(b)).
Karena g fungsi injektif, maka f(a) = f(b).
Karena f fungsi injektif, maka a = b. Jadi, terbukti g o f adalah fungsi injektif.
(b)
Diberikan sebagai latihan.
(a)
Jika f dan g
fungsi surjektif, maka g o f adalah fungsi
surjektif.
(b)
Jika g o f adalah fungsi
surjektif, maka g
adalah fungsi surjektif.
Bukti:
(a)
Ambil sebarang c Î C. Akan ditunjukkan ada a Î A sehingga
(g
o f)(a) = c.
Karena g fungsi
surjektif, maka ada b Î B sehingga g(b). Karena f fungsi surjektif, maka ada a Î A, sehingga f(a)= b. Jadi, ada
a Î A sehingga
(g o f)(a) = g(f(a))
= g(b) = c.
Terbukti bahwa g
o f adalah fungsi surjektif.
(b)
Diberikan sebagai latihan.
Latihan 1.2
1.
Misalkan A = {0, 1, 2, 3} dan B
= N. Manakah di antara subset dari A ´ B
berikut yang merupakan fungsi dari A ke
B? Jelaskan! a. f =
{(0, 2), (1, 4), (2, 6)}
b. g
= {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)}
c. h = {(0, 7),
(1, 2), (1, 8), (2, 3), (3, 3)}
d. j
= {(-1, 0), (0, 2), (1, 4), (2, 6), (3, 8)}
e. k = {(x, y) ⏐ y = 2x + 3, x Î A}
2.
a. Misalkan A = { (x, y) Î R ´ R ⏐ y = -3x
+
3}. Apakah A fungsi? Jelaskan?
b. Misalkan B = { (x, y) Î R ´ R ⏐ y2 + x2 = 1}. Apakah B fungsi?
Jelaskan?
3. Misalkan f : R ® R dengan f(x) = x2.
a.
Tentukan f-1(4)!
b. Jika E = { x Î R⏐ -1 £ x £ 0}, tentukan f(E) dan f-1(E)!
c. Jika F = { x Î R⏐ 0 £ x £ 1}, tentukan f(F) dan f-1(F)!
d.
Tentukan hubungan antara f(E Ç F) dan f(E) Ç f(F)!
4.
Misalkan f : R ® R dengan f(x) = 2x + 5 dan
g : R ® R dengan g(x)
= 3x + 1. Tentukan
(g o f)
dan (f o g)!
5. Berilah suatu contoh fungsi f dan g
dari R ke R sehingga g o f = f o g!
6.
|
Misalkan f fungsi satu-satu dari A ke B.
Tunjukkan bahwa (f-1 o f )(x) = x, untuk
semua x Î A dan ( f o f-1)(y) = y, untuk
semua y Î R !
7.
Misalkan f dan
g fungsi sehingga
(g o f)(x) = x, untuk
semua x Î Df, dan (f o g)(y)
= y, untuk semua y Î Dg. Buktikan g = f-1!
8.
Misalkan f
fungsi dari A ke B, dan g fungsi dari B ke A sehingga (g o f)(x)
= x, untuk semua x Î A.
Tunjukkan bahwa f
injeksi! Apakah f
harus surjeksi?
9.
Misalkan f injeksi
dari A ke B.
Buktikan bahwa
adalah injeksi!
f-1 = {(b, a) Î B ´ A⏐(a, b) Î f}
10. Misalkan f : A ® B,
dan g: B ® C adalah injeksi.
Tunjukkan bahwa (g
o f)-1 = f-1
o g-1 di R !
(g
o
f)
11.
Tunjukkan jika f : A ® B dan E, F Ì A maka
f (E È F ) = f (E)È f (F ) dan f (E Ç F ) Í f (E)Ç f (F ) .
12.
Tunjukkan jika f : A ® B dan G, H Ì B maka
f -1 (G È H ) =f -1 (G)È f -1 (H ) dan f -1 (G Ç H ) = f -1 (G)Ç f -1 (H ) .
13.
Berikan suatu contoh pada fungsi f , g : R ® R sedemikian sehingga f
¹ g akan
tetapi berlaku f o g = g o f .
14.
Buktikan jika f : A ® B bijektif
dan g :B ® C bijektif maka g o f bijektif dengan
A
surjektif pada C.
15.
Misalkan f : A ® B dan g :B ® C sehingga:
i.
Tunjukkan jika
ii. Tunjukkan jika
No comments:
Post a Comment
you say