Kalkulus Diferensial

Kalkulus Diferensial

Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut.

Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan.

Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda.

Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing.

Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak.

Turunan

Misalkan x dan y adalah bilangan real di mana y adalah fungsi dari x, yaitu y = f(x). Salah satu dari jenis fungsi yang paling sederhana adalah fungsi linear. Ini adalah grafik fungsi dari garis lurus. Dalam kasus ini, y = f(x) = m x + c, di mana m dan c adalah bilangan real yang tergantung pada garis mana grafik tersebut ditentukan. m disebut sebagai kemiringan dengan rumus:

di mana simbol Δ (delta) memiliki arti "perubahan nilai". Rumus ini benar adanya karena

y + Δy = f(x + Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx.

Diikuti pula Δy = m Δx.

Namun, hal-hal di atas hanya berlaku kepada fungsi linear. Fungsi nonlinear tidak memiliki nilai kemiringan yang pasti. Turunan dari f pada titik x adalah pendekatan yang paling baik terhadap gagasan kemiringan f pada titik x, biasanya ditandai dengan f'(x) atau dy/dx. Bersama dengan nilai f di x, turunan dari f menentukan pendekatan linear paling dekat, atau disebut linearisasi, dari f di dekat titik x. Sifat-sifat ini biasanya diambil sebagai definisi dari turunan.

Sebuah istilah yang saling berhubungan dekat dengan turunan adalah diferensial fungsi.

Bilamana x dan y adalah variabel real, turunan dari f pada x adalah kemiringan dari garis singgung grafik f' di titik x. Karena sumber dan target dari f berdimensi satu, turunan dari f adalah bilangan real. Jika x dan y adalah vektor, maka pendekatan linear yang paling mendekati grafik f tergantung pada bagaimana f berubah di beberapa arah secara bersamaan. Dengan mengambil pendekatan linear yang paling dekat di satu arah menentukan sebuah turunan parsial, biasanya ditandai dengan ∂y/∂x. Linearisasi dari f ke semua arah secara bersamaan disebut sebagai turunan total. Turunan total ini adalah transformasi linear, dan ia menentukan hiperbidang yang paling mendekati grafik dari f. Hiperbidang ini disebut sebagai hiperbidang oskulasi; ini secara konsep sama dengan mengambil garis singgung ke semua arah secara bersamaan.

Penerapan Turunan

Optimalisasi

Jika f adalah fungsi yang dapat diturunkan pada R (atau interval terbuka) dan x adalah maksimum lokal ataupun minimum lokal dari f, maka turunan dari f di titik x adalah nol; titik-titik di mana f '(x) = 0 disebut titik kritis atau titik pegun (dan nilai dari f di x disebut nilai kritis). (Definisi dari titik kritis kadang kala diperluas sampai meliputi titik-titik di mana turunan suatu fungsi tidak eksis.) Sebaliknya, titik kritis x dari f dapat dianalisa dengan menggunakan turunan ke-dua dari f di x:

jika turunan ke-dua bernilai positif, x adalah minimum lokal;

jika turunan ke-dua bernilai negatif, x adalah maksimum lokal;

jika turunan ke-dua bernilai nol, x mungkin maksimum lokal, minimum lokal, ataupun tidak kedua-duanya. (Sebagai contohnya, f(x)=x³ memiliki titik kritis di x=0, namun titik itu bukanlah titik maksimum ataupun titik minimum; sebaliknya f(x) = ±x4 mempunyai titik kritis di x = 0 dan titik itu adalah titik minimum maupun maksimum.)

Ini dinamakan sebagai uji turunan ke dua. Sebuah pendekatan alternatif lainnya, uji turunan pertama melibatkan nilai f ' di kedua sisi titik kritis.

Menurunkan fungsi dan mencari titik-titik kritis biasanya merupakan salah satu cara yang sederhana untuk mencari minima lokal dan maksima lokal, yang dapat digunakan untuk optimalisasi. Sesuai dengan teorema nilai ekstremum, suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup haruslah memiliki nilai-nilai minimum dan maksimum paling sedikit satu kali. Jika fungsi tersebut dapat diturunkan, minima dan maksima hanya dapat terjadi pada titik kritis atau titik akhir.

Hal ini juga mempunyai aplikasi tersendiri dalam proses sketsa grafik: jika kita mengetahui minima dan maksima lokal dari fungsi yang dapat diturunkan tersebut, sebuah grafik perkiraan dapat kita dapatkan dari pengamatan bahwa ia akan meningkat dan menurun di antara titik-titik kritis.

Di dimensi yang lebih tinggi, titik kritis dari nilai skalar fungsi adalah titik di mana gradien fungsi tersebut adalah nol. Uji turunan kedua masih dapat digunakan untuk menganalisis titik-titik kritis dengan menggunakan eigennilai matriks Hessian dari turunan parsial ke-dua fungsi di titik kritis. Jika semua eigennilai tersebut adalah positif, maka titik tersebut adalah minimum lokal; jika semuanya negatif, maka titik itu adalah maksimum lokal. Jika ada beberapa yang positif dan beberapa yang negatif, maka titik kritis tersebut adalah titik pelana, dan jika tidak ada satupun dari keadaan di atas yang terpenuhi (misalnya ada beberapa eigennilai yang nol) maka uji tersebut inkonklusif.

Kalkulus Variasi

Salah satu contoh masalah optimalisai adalah mencari kurva terpendek anatar dua titik di atas sebuah permukaan dengan asumsi kurva tersebut harus berada di permukaan tersebut. Jika permukaan tersebut adalah bidang rata, maka kurva yang paling pendek berupa garis lurus. Namun jika permukaannya tidak bidang, maka kita tidak bisa mengetahui secara pasti kurva yang paling pendek. Kurva ini disebut sebagai geodesik, dan salah satu masalah paling sederhana di kalkulus variasi adalah mencari geodesik.Contoh lainnya adalah mencari luas permukaan paling kecil yang dibatasi oleh kurva tertutup di ruang tiga dimensi. Permukaan ini disebut sebagai permukaan minimum, dan ini dapat dicari dengan menggunakan kalkulus variasi.

Fisika

Kalkulus sangatlah penting dalam fisika. Banyak proses fisika yang dapat dideskripsikan dengan turunan, disebut sebagai persamaan diferensial. Fisika secara spesifik mempelajari perubahan kuantitas terhadap waktu, dan konsep "turunan waktu"—laju perubahan terhadap perubahan waktu— sangatlah penting sebagai definisi yang tepat pada beberapa konsep penting. Sebagai contohnya, turunan waktu terhadap posisi benda sangat penting dalam fisika Newtonan:

·       kecepatan adalah turunan posisi benda terhadap waktu.

·       percepatan adalah turunan dari kecepatan benda terhadap waktu, ataupun turunan kedua posisi benda terhadap waktu.

Sebagai contoh, jika posisi sebuah benda dalam sebuah garis adalah:

{\displaystyle x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!}

maka kecepatan benda tersebut adalah:

{\displaystyle {\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!}

dan percepatan benda itu adalah:

{\displaystyle {\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!}

Persamaan diferential

Persamaan diferensial adalah hubungan antara sekelompok fungsi dengan turunan-turunannya. Persamaan diferensial biasa adalah sebuah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi dengan sebuah variabel ke turunannya terhadap variabel itu sendiri. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang menghubungkan fungsi yang memiliki lebih dari satu variable ke turunan parsialnya. Persamaan diferensial muncul secara alami dalam sains fisik, model matematika, dan dalam matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Hukum kedua Newton yang menggambarkan hubungan antara percepatan dengan posisi dapat dimulai dengan persamaan diferensial biasa:

Persamaan kalor di variable satu ruang yang menggambarkan bagaimana kalor dapat berdifusi melalui satu tongkat yang lurus adalah persamaan diferensial parsial

Di sini u(x, t) adalah temperatur tongkat pada posisi x dan waktu t dan α adalah sebuah tetapan yang bergantung pada seberapa cepat kalor tersebut berdifusi.

Teorema nilai purata

Teorema nilai purata memberikan hubungan antara nilai dari turunan dengan nilai dari fungsi asal. Jika f(x) adalah fungsi yang bernilai real dan a dan b adalah bilangan dengan a < b, maka teorema nilai purata mengatakan bahwa kemiringan antara dua titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) adalah sama dengan kemiringan garis singgung f di titik c di antara a and b. Dengan kata lain:

Dalam praktiknya, teorema nilai purata ini mengontrol sebuah fungsi terhadap turunannya. Sebagai contoh, misalkan f memiliki turunan yang sama dengan nol di setiap titik, maka fungsi tersebut haruslah horizontal. Teorema nilai purata membuktikan bahwa hal ini haruslah benar, bahwa kemiringan antara dua titik di grafik f haruslah sama dengan kemiringan salah satu garis singgung di f. Semua kemiringan tersebut adalah nol, jadi garis sembarang antara titik yang satu dengan titik yang lainnya di fungsi tersebut memiliki kemiringan yang bernilai nol. Namun hal ini juga mengatakan bahwa fungsi tersebut tidak naik maupun turun.

Polinomial Taylor dan deret Taylor

Turunan memberikan pendekatan linear yang paling baik, namun pendekatan ini bisa sangat berbeda dengan fungsi asalnya. Salah satu cara untuk memperbaiki pendekatan ini adalah dengan menggunakan pendekatan kuadratik. Linearisasi dari fungsi bernilai real f(x) pada suatu titik x₀ adalah linearisasi polinomial a + b(x - x₀), dan sangat mungkin untuk mendapatkan pendekatan yang lebih baik dengan menggunakan polinomial kuadratik a + b(x - x₀) + c(x - x₀)². Masih lebih baik lagi apabila menggunakan polinomial kubik a + b(x - x₀) + c(x - x₀)² + d(x - x₀)³, dan gagasan ini dapat diperluas sampai polinomial berderajat tinggi. Untuk setiap polinomial ini, haruslah terdapat pilihan nilai koefisien yang paling tepat untuk a, b, c, dan d yang membuat pendekatan ini sedekat mungkin.

Untuk a, pilihan nilai yang terbaik selalu bernilai f(x₀), dan untuk b selalu bernilai f'(x₀). Untuk c, d, dan koefisien berderajat tinggi lainnya, koefisien-koefisien ini ditentukan dengan turunan berderajat tinggi dari f. c haruslah f''(x₀)/2, dan d haruslah f'''(x₀)/3!. Dengan menggunakan koefisen ini, kita mendapatkan polinomial Taylor dari f. Polinomial taylor berderajat d adalah polinomial dengan derajat d yang memberikan pendekatan yang paling baik terhadap f, dan koefisiennya dapat ditentukan dengan perampatan dari rumus di atas. Teorema Taylor memberikan batasan-batasan yang detail akan seberapa baik pendekatan tersebut. Jika f adalah polinomial dengan derajat yang lebih kecil atau sama dengan d, maka polinomial Taylor dengan derajat d sama dengan f.

Batasan dari polinomial Taylor adalah deret tidak terbatas yang disebut sebagai deret Taylor. Deret Taylor biasanya merupakan pendekatan yang cukup dekat dengan fungsi asalnya. Fungsi-fungsi yang sama dengan deret Taylor disebut sebagai fungsi analitik. Adalah tidak mungkin untuk fungsi yang tidak kontinu atau memiliki sudut yang tajam untuk menjadi fungsi analitik. Namun terdapat pula fungsi mulus yang bukan analitik.

Teorema fungsi implisit

Beberapa bentuk geometri alami, seperti lingkaran, tidak dapat digambar sebagai grafik fungsi. Jika F(x, y) = x² + y², maka lingkaran adalah himpunan pasangan (x, y) di mana F(x, y) = 0. Himpunan ini disebut sebagai himpunan nol (zero set) (bukan himpunan kosong) dari F. Ini tidaklah sama dengan grafik F, yang berupa kerucut. Teorema fungsi implisit mengubah relasi seperti F(x, y) = 0 menjadi fungsi . Teorema ini menyatakan bahwa jika F adalah secara kontinu terdiferensialkan, maka di sekitar kebanyakan titik-titik, himpunan nol dari F tampak seperti grafik fungsi yang digabungkan bersama. Titik di mana hal ini tidak benar ditentukan pada kondisi turunan F. Lingkaran dapat digabungkan bersama dengan grafik dari dua fungsi {\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}. Di setiap titik lingkungan dari lingkaran kecuali (-1, 0) dan (1, 0),satu dari dua fungsi ini mempunyai grafik yang mirip dengan lingkaran. (Dua fungsi ini juga bertemu di (-1, 0)dan (1, 0), namun hal ini tidak dipastikan oleh teorema fungsi implisit).

Teorema fungsi implisit berhubungan dekat dengan teorema fungsi invers yang menentukan kapan sebuah fungsi tampak mirip dengan grafik fungsi terbalikkan yang digabungkan bersama.