Himpunan Buka dan Tutup di R

Definisi 2.5.1 Misalkan E Í R. p Î E disebut titik interior dari E jika terdapat lingkungan V dari p sehingga V Í E. Himpunan semua titik interior dari E dinotasikan dengan int(E), dan disebut interior dari E.

Perlu diingat kembali bahwa lingkungan V dari titik p adalah himpunan yang memuat Ve(p), untuk suatu e > 0. Dengan demikian, dapat dikatakan p Î E adalah titik interior dari E jika terdapat e > 0 sehingga

Ve(p) Í E.

Sebagai contoh, misalkan E = (a, b] dengan a < b. Setiap titik p sehingga

a < p < b adalah titik interior dari E. Titik b bukan titik interior karena untuk setiap

e > 0, maka

Ve(b) = (b - e, b + e) memuat titik yang bukan anggota E.

Definisi 2.5.2. Misalkan E Í R. E disebut himpunan buka di R jika semua titik di E adalah titik interior dari E. E disebut himpunan tutup di R jika Ec = R\E adalah himpunan buka.

Sebagai contoh, interval terbuka (a, b) di R adalah himpunan buka di R.

Himpunan bilangan real R adalah himpunan buka dan himpunan kosong 0/

adalah

himpunan buka di R. Berikut ini disajikan teorema yang buktinya diberikan sebagai latihan.

Teorema 2.5.3 Setiap interval buka di R adalah himpunan buka di R.

Teorema 2.5.4

(a)     Gabungan sejumlah takberhingga himpunan buka di R adalah himpunan buka.

(b)     Irisan sejumlah berhingga himpunan buka di R adalah himpunan buka.

Teorema 2.5.5

(a)     Gabungan sejumlah berhingga himpunan tutup di R adalah himpunan tutup.

(b)     Irisan sejumlah takberhingga himpunan tutup di R adalah himpunan tutup.  Teorema 2.5.6 F himpunan bagian dari R adalah tutup jika dan hanya jika F memuat semua titik limitnya.

Latihan 2.5.

1.     Tunjukkan bahwa interval (a, ¥) dan (- ¥, a )adalah himpunan terbuka

2.     Tunjukkan bahwa interval (b, ¥) dan (- ¥,b ) adalah himpunan tertutup

3.     Tunjukkan bahwa bilangan N tertutup di R.

 1    1

4.     Dalam topologi garis pada {0,1, 3 , 5 ,..........}apakah 0 merupakan :

·       Titik Kumpul ? Jelaskan alasan.

·       Titik interior ? Jelaskan alasan.