Barisan Bilangan Real

Definisi 3.1.1  Barisan bilangan real (atau barisan di R) adalah suatu fungsi dari himpunan bilangan asli N ke himpunan bilangan real R.

Contoh 3.1.2  Diberikan fungsi X : N ® R yang didefinisikan dengan  X(n) = n, n Î N. Maka X adalah barisan di R. Demikian juga, fungsi Y : N ® R yang didefinisikan dengan

adalah barisan di R.☻

Y(n) =

1 ,        n Î N. n

Berdasarkan Definisi 3.1.1 dapat pula dinyatakan bahwa barisan di R memasangkan masing-masing bilangan asli n Î N dengan bilangan real tertentu dan tunggal. Bilangan real yang diperolah disebut dengan unsur barisan, nilai barisan, atau suku barisan. Bilangan real yang dipasangkan dengan n Î N biasanya dinotasikan dengan xn, an, atau zn.

Jika X : N ® R adalah barisan, maka unsur ke n dari X dinotasikan dengan xn,

tidak dinotasikan dengan X(n). Sedangkan barisan itu sendiri dinotasikan dengan X, (xn), atau (xn ⏐n Î N). Barisan X dan Y pada Contoh 3.1, masing-masing dapat dinotasikan dengan

X = (n ⏐n Î N) dan Y = ( 1 ⏐ n Î N).

n

Penggunaan tanda kurung ini akan membedakan antara barisan X = (xn ⏐n Î N)

n

dengan himpunan {x ⏐n Î N}. Sebagai contoh X = ((-1)n

⏐n Î N) adalah barisan

yang unsur-unsurnya selang-seling antara -1 dan 1, sedangkan {(-1)n  ⏐n Î  N} adalah himpunan yang unsur-unsurnya adalah -1 dan 1, yaitu {-1, 1}.

Dalam mendefinisikan barisan, kadang ditulis secara berurutan unsur-unsur dalam barisan, sampai rumus untuk barisan tersebut nampak. Perhatikan beberapa contoh barikut.

Contoh 3.1.3   Barisan  X = ( 2, 4, 6, 8, 10, …, 2n, …) menyatakan barisan bilangan asli genap. Sedangkan salah satu rumus umumnya adalah

X = (2n ⎟ n Î N).

Barisan

Y : ( 1, 1 , 1 , 1 , .... ,

1 ,…)

2  3  4         n

menyatakan barisan yang salah satu rumus umumnya adalah

Y : ( 1 ⎟ n Î N). ☻

n

Kadang  kala,  rumus  umum  suatu  barisan  dinyatakan  secara  rekursif,  yaitu ditetapkan unsur x1 dan rumus untuk xn + 1 (n ³ 1) setelah xn diketahui.

Sebagai contoh barisan bilangan bulat genap positif dapat dinyatakan dengan rumus

x1 = 2, xn + 1 = xn + 2, (n ³ 1)

atau dengan rumus

x1 = 2, xn + 1 = x1 + xn, (n ³ 1).

Berikut ini akan disajikan beberapa contoh barisan

Contoh 3.1.4

a.    Jika b Î R, maka barisan B = (b, b, b, b, …, b, …) yang semua unsurnya adalah b disebut barisan konstan b. Jadi, barisan konstan 1 adalah barisan

(1, 1, 1, 1, …, 1, …)

sedangkan barisan konstan 0 adalah barisan

(0, 0, 0, 0, …, 0, …).

b.    Barisan kuadrat bilangan asli adalah barisan

S = (n2 ⎟ n Î N)

= (12, 22, 32, 42, …, n2, …).

Barisan ini sama dengan barisan (1, 4, 9, 16, …, n2, …)

c.    Jika a Î N, maka barisan A = (an ⎟ n Î N) adalah barisan

A = (a, a2, a3, a4, …, an, …).

Jadi jika a = 2, maka

A = (2, 4, 8, 16, …, 2n, …).

d.    Barisan Fibonacci F = (fn ⎟ n Î N) dinyatakan secara rekursif dengan

f1 = 1,        f2 = 2,

fn + 1 = fn – 1 + fn ,   (n ³ 2).

Sepuluh suku pertama barisan Fibonacci adalah

F = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …).  ☻

Sekarang akan diperkenalkan suatu cara yang penting dalam membuat barisan baru dari barisan yang telah diketahui.

Definisi 3.1.5 Misalkan X = (xn) dan Y = (yn) adalah barisan bilangan real. Jumlah dari barisan X dan Y, dinotasikan dengan X + Y, adalah barisan yang didefinisikan dengan

X + Y = (xn + yn ⎟ n Î N).

Contoh 3.1.6 Misalkan X = (n + 1 ⎟ n Î N) dan Y = (2n ⎟ n Î N) Maka

X + Y = (3n + 1 ⎟ n Î N).  ☻

Definisi 3.1.7 Misalkan X = (xn) dan Y = (yn) adalah barisan bilangan real. Selisih dari barisan X dan Y, dinotasikan dengan X - Y, adalah barisan yang didefinisikan dengan

X - Y = (xn - yn ⎟ n Î N).

Contoh 3.1.8 Misalkan X = (n + 1 ⎟ n Î N) dan Y = (2n ⎟ n Î N) Maka

X - Y = (-n + 1 ⎟ n Î N).  ☻

Definisi 3.1.9 Misalkan X = (xn) dan Y = (yn) adalah barisan bilangan real. Perkalian dari barisan X dan Y, dinotasikan dengan XY, adalah barisan yang didefinisikan dengan

XY = (xnyn ⏐n Î N).

Contoh 3.1.10 Misalkan X = (n + 1 ⎟ n Î N) dan Y = (2n ⎟ n Î N)

Maka XY = (2n2 + 2n ⏐n Î N).  ☻

Definisi 3.1.11   Misalkan X = (xn) adalah barisan bilangan real dan c Î R. Kelipatan c dari barisan X, dinotasikan dengan cX, adalah barisan yang didefinisikan dengan

cX = (cxn ⏐n Î N).

Contoh 3.1.12 Misalkan X = (n + 1 ⏐n Î N) dan c = -2. Maka

cX = -2X = (-2(n + 1) ⏐n Î N).  ☻

Definisi 3.1.13 Misalkan X = (xn) dan Y = (yn) adalah barisan bilangan real, dengan yn ¹

0, untuk semua n Î N.  Pembagian dari barisan X dengan Y, dinotasikan dengan  X ,

Y

adalah barisan yang didefinisikan dengan

X = ( xn

Y        yn

⏐ n Î N).

Contoh 3.1.14 Misalkan X = (n + 1 ⏐n Î N) dan Y = (2n ⏐n Î N) Maka

X = ( n + 1 ⏐n Î N). ☻

Jika

Y          2n

maka

Z = (1 + (-1)n ⏐n Î N) = (0, 2, 0, 2, 0, …, 1 + (-1)n, …),

X  tidak terdefinisi karena ada unsur di Z yang sama dengan 0.

Z

Latihan 3.1

1.       Tentukan lima suku pertama, suku ke –10, suku ke-50 dan suku ke-100 dari barisan-barisan berikut

n

a.    (x ) = (1 + (-1)n)

1

b.   (xn) = (

)

n(n + 1)

c.    x1 = 1, xn + 1 = 3xn + 1. (n > 1)

2.       Tentukan suatu rumus untuk barisan-barisan berikut. a. X = (5, 7, 9, 11, …)

b.   Y = (

1 , - 1 ,

1 , -

1 , …)

2       4    8       16

c.    Z = ( 1 , 2 , 3 , 4 , ... )

2   3  4   5

3.       Misalkan X, Y, dan Z barisan pada soal 2. Tentukankan rumus untuk X +

Y, Z – Y, YZ, 2Y dan

X  dan tentukan pula 4 suku pertama.

Y

⎛ b ⎞

4.       Untuk setiap b Î R , Buktikan bahwa  lim⎜

⎟ = 0 .

⎝ n ⎠

1

      

n                                                                                                                      n

5. Misalkan x  =                untuk n Î N , tunjukkan bahwa lim(x ) = 0 . ln(n + 1)

6.   Buktikan bahwa jika lim(x) = x dan jika x > 0 maka terdapat bilangan asli M sedemikian sehingga xn  > 0 untuk setiap n ³ M.

7.       Misalkan b Î R memenuhi 0 < b < 1 , tunjukkan bahwa lim(nbn )= 0 .

8.      Jika lim(x) = x >0, tujukkan terdapat bilangan asli K sedemikian  sehingga jika n ³ K , maka

1  x < x < 2x. 

2               n