Ekor Barisan

Definisi 3.3.1     Misalkan X = (x1, x2, x3, …, xn, …) adalah barisan bilangan real.

Ekor-M dari X adalah barisan XM yang didefinisikan dengan

XM = (xM + n ⏐n Î N) = ( xM + 1, xM + 2, xM + 3, …).

Berdasarkan definisi tersebut, maka jika p Î N, maka suku ke-p dari XM adalah suku ke-(p + M) pada X. Jika q Î N dan q > M, maka suku ke-q dari X adalah suku ke-(q – M) dari XM.

Contoh 3.3.2  Misalkan X = (2, 4, 6, 8, …, 2n, …). Maka ekor-3 dari X adalah barisan (8, 10, 12, …, 2n + 6, …) Misalkan

Y = ( 1 , 2 , 4 , ...,    n

, ...) .

2  3  5

n + 1

Maka ekor-10 dari Y adalah barisan ( 11 , 12 , 14 , ..., n + 10 , ...) .   ☻

12  13  15

n + 11

Teorema 3.3.3 Misalkan X = (xn ⏐n Î N)  adalah barisan bilangan real dan M Î N. XM = (xM + n ⏐n Î N) ekor-M dari X adalah konvergen jika dan hanya jika X konvergen.

Bukti: (syarat cukup) Misalkan X konvergen ke x. Ambil e > 0. Maka ada K Î N

sehingga untuk semua n ³ K berlaku

⏐xn – x ⏐< e.

Pilih KM = K – M. Diperoleh, jika

m ³ KM = K – M

maka suku ke-m pada XM  adalah suku ke-(m + M) pada X. Karena m ³ K – M, maka  m + M ³ K. Diperoleh

⏐xm + M – x ⏐< e.

Karena suku ke-(m + M) pada X adalah suku ke-m di XM , maka untuk semua m ³

KM = K – M berlaku

⏐xm – x ⏐ < e.

Jadi untuk setiap e > 0, ada bilangan asli KM = K – M, sehingga untuk semua

m ³ KM = K – M

berlaku

Jadi XM juga konvergen ke x.

⏐xm – x ⏐ < e.

(Syarat Perlu) Misalkan XM  konvergen ke x. Ambil e > 0. Maka ada KM  Î N

sehingga untuk semua m ³ KM berlaku

⏐xm – x ⏐ < e.

Pilih K = KM + M. Diperoleh, jika

n ³ K = KM + M

maka suku ke-n pada X adalah suku ke-(n - M) pada XM.  Karena n ³ KM + M, maka

n - M ³ KM. Diperoleh

⏐xn - M – x ⏐ < e.

Karena suku ke-(n - M) pada XM adalah suku ke-n di X , maka untuk semua  n ³ K = KM + M berlaku

⏐xn – x ⏐ < e.

Jadi untuk setiap e > 0, ada bilangan asli K = KM + M, sehingga untuk semua n ³ K

berlaku

⏐xn – x ⏐< e.

Jadi X juga konvergen ke x. Berdasarkan pembuktian tersebut nampak bahwa lim

XM = lim X. ◘

Teorema 3.3.4 Misalkan A = (an) dan X = (xn) adalah barisan bilangan real dan x Î R. Jika untuk suatu C Î R, C > 0, berlaku

⏐xn – x ⏐ £ C⏐an⏐, untuk semua n Î N

dan lim (an) = 0, maka lim (xn) = x.

Bukti: Ambil e > 0. Karena C > 0, maka

e

> 0. Karena lim (an)= 0, maka ada K

C

Î N sehingga untuk semua n ³ K berlaku

e

Jadi untuk semua n ³ K, maka

⏐an  – 0⏐= ⏐an⏐<           .

C

e

⏐xn – x ⏐ £ C⏐an⏐< C

C

= e.

Jadi untuk setiap e > 0, ada bilangan asli K, sehingga untuk semua n ³ K berlaku

⏐xm – x ⏐ < e.

Jadi lim X = x. ◘