Hukum sinus

Dalam trigonometri, hukum sinus ialah sebuah persamaan yang berhubungan dengan panjang sisi-sisi sebuah segitiga yang berubah-ubah terhadap sinus sudutnya. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dan sudut yang berhadapan bersisi (huruf besar) A, Band C, hukum sinus menyatakan

${\displaystyle {\sin A \over a}={\sin B \over b}={\sin C \over c}.\,}$

Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada segitiga.

Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan

${\displaystyle {a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=d.}$

Dapat ditunjukkan bahwa:

${\displaystyle d={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}+2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}}$

di mana

s merupakan semi-perimeter

${\displaystyle s={\frac {(a+b+c)}{2}}}$

Turunan

Buatlah segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut yang berlawanan A, B, dan C. Buatlah garis dari sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis ini h.

Dapat diamati bahwa:

${\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}}$ and ${\displaystyle \;\sin B={\frac {h}{a}}}$

Kemudian:

${\displaystyle h=b\,\sin A=a\,\sin B}$

dan

${\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}.}$

Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan sisi a akan menghasilkan:

${\displaystyle {\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}}$